Układy równań pierwszego stopnia
Układ równań to połączenie minimum dwóch innych równań. Równanie tego typu może mieć jedno rozwiązanie(nazywamy je wówczas równaniem oznaczonym), może mieć wiele rozwiązań jak i nie mieć ich w ogóle. Równania, które nie mają rozwiązań nazywamy sprzecznymi, a gdy mają nieskończenie wiele rozwiązań nazywamy tożsamościowymi(lub nieoznaczonymi).
W szkole najczęściej spotykanymi układami równań są równania z dwoma niewiadomymi:
Przykład
\( {\begin{cases}x-y=4\\2x+y=5\end{cases}}\)
\( {\begin{cases}3x+y=3\\3x-2y=-3\end{cases}}\)
Układy równań mogą składać się z większej ilości równań oraz niewiadomych:
Przykład
\( {\begin{cases}3z+y+z=32 \\ 3x-3z+y=3\\2z+1-y+2x=17\end{cases}}\)
Metoda podstawiania
Metoda podstawiania polega na podstawieniu pod jedną niewiadomą równania z drugiej niewiadomej. Aby tego dokonać należy wyznaczyć wartość jednej niewiadomej, a dokonujemy tego poprzez odpowiednie przenoszenie pozostałych elementów na drugą stronę równania.
Przykład
Rozwiąż poniższe równanie:
\( {\begin{cases}6x+2y=12\\6x-4y=-12\end{cases}}\)
Na początek wyznaczamy wartość zmiennej \(y\):
\(2y = 12 - 6x\)
\(y = 6 - 3x\)
Następnie podstawiamy pod \(y\):
\(6x-4\cdot(6-3x)=-12\)
\(6x-24+12x=-12\)
\(18x = 12\)
\(x = {2 \over 3}\)
Teraz podstawiamy \(x\) w równaniu, aby obliczyć \(y\):
\(y = 6 - 3 \cdot {2\over3}\)
\(y=4\)
\( {\begin{cases}x= {2\over3}\\y=4\end{cases}}\)
Metoda przeciwnych współczynników
Metoda przeciwnych współczynników polega na takim doprowadzeniu równań, aby dodając je można by zredukować jedną zmienną.
Przykład
Rozwiąż równanie metodą przeciwnych współczynników:
\( {\begin{cases}6x+2y=12\\6x-4y=-12\end{cases}}\)
Załóżmy, że chcemy zredukować zmienną \(y\), aby to zrobić należy pomnożyć pierwsze równanie przez 2.
\( {\begin{cases}12x+4y=24\\6x-4y=-12\end{cases}}\)
Teraz dodając dwa równania otrzymamy:
\(18x = 12\)
\(x = {2 \over 3}\)
I podstawiając pod \(x\) obliczamy \(y\)
\(6 \cdot {2 \over 3} + 2y = 12 \)
\(2y = 12 - 4\)
\(y = 4\)
\( {\begin{cases}x= {2\over3}\\y=4\end{cases}}\)
Rozwiąż równanie:
\( {\begin{cases}2x+5y=1\\x+2y=1\end{cases}}\)
Rozwiąż równanie:
\( {\begin{cases}x+y=-4\\3x-4y=2\end{cases}}\)
Rozwiąż równanie:
\( {\begin{cases}6x-2y=9\\3x+y=4,5\end{cases}}\)
Rozwiąż równanie:
\( {\begin{cases}2x-2y=7\\-2x+4y=-14\end{cases}}\)
Rozwiąż równanie:
\( {\begin{cases}4x-7y=-19\\3x+2y=22\end{cases}}\)
Rozwiąż równanie:
\( {\begin{cases}{2\over 3}y+x=7\\1{1\over 3}y+4x=2{1\over 3}\end{cases}}\)