Wstęp do wielomianów
Wyrażenie algebraiczne w formie \(ax^n\) nazywamy jednomianem zmiennej \(x\), gdzie \(a \in \mathbb{R}\), \(n \in \mathbb{N}\) i \(a \neq 0\).
Przykład
Jednomiany:
\(2x^2\) (czyt. jednomian stopnia drugiego zmiennej \(x\))
\(-16y^4\)
\({3 \over 11} t^{34}\)
Liczby rzeczywiste, które sa różne od zera to też jednomiany, tyle że stopnia zerowego.
Np. dla liczby \(28\) jest to \(28x^0\), dla \( \sqrt{3} \) jest to \(\sqrt{3}x^0\)
Wielomian, który jest sumą dwóch jednomianów nazywamy dwumianem, a trzech trójmianem.
Przykład
Przykłady dwumianów:
\(3x + 1\)
\(x^3-1\)
\({3\over 8}y - \sqrt3y\)
Przykłady trójmianów:
\(2x^{11}+\sqrt2x-3\)
\(b^3-4b+11\)
\(\sqrt5x^4-x^5-x^7\)
Każdy jednomian, dwumian, trójmian czy sumy jednomianów nazywamy wielomianem. Wielomian stopnia n zmiennej x nazywamy wyrażenie, które da się przedstawić w postaci:
\(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_2x^2+a_1x+a_0\)
Wielomiany można dodawać, odejmować i mnożyć. Wynikiem tych działań to nowy wielomian.
Przykład
Dodawanie wielomianów:
\((18+9x^5-4x^3)+(2x^3-9x-8x^5)=\\18+9x^5-4x^3+2x^3-9x-8x^5=\\ x^5-2x^3-9x+18\)
Odejmowanie wielomianów:
\((-9x^4+2x^5+3)-(8-6x+2x^4)=\\-9x^4+2x^5+3-8+6x-2x^4=\\2x^5-11x^4+6x-5\)
Mnożenie wielomianów:
\((6-3x^5+x)(-2x^2-x)=\\-12x^2-6x+6x^7+3x^6-2x^3-x^2=\\6x^7+3x^6-2x^3-13x^2-6x\)
Określ stopień wielomianu: \(2x+4x^3-10x^4\)
Określ stopień wielomianu: \(8x^3-3x^8\over 3\)
Oblicz wartość wielomianu dla \(x = 2\)
\(3(2x+2)^2(x-3)\)
Oblicz wartość wielomianu dla \(x={2\over3}\)
\(-{1\over3}x^4+{2\over3}x^2-{1\over2}\)