Wstęp do równań
Jednym z najważniejszych umiejętności w matematyce jest umiejętność rozwiązywania równań. Równanie to połączenie dwóch wyrażeń algebraicznych ze znakiem równości. Najprostsze równania to równania liniowe. Równanie liniowe posiada jedną zmienną.
Przykład równania liniowego:
\(\underbrace{2x + 3}_{\text{lewe wyrażenie algebraiczne}} = \underbrace{8x - 1}_{\text{prawe wyrażenie algebraiczne}}\)
W naszym przypadku \(x\) jest naszą niewiadomą. Rozwiązanie takiego równania polega na przeniesieniu wszystkich niewiadomych na lewą stronę równania, a wiadomych (czyli liczby) na prawą. Przenoszenie na lewą lub prawą stronę możemy osiągnąć poprzez wykonywanie odpowiednich działań po obu stronach równania, np. dodawania, odejmowania, dzielenia itd. Każdą liczbę spełniającą dane równanie nazywamy pierwiastkiem równania lub po prostu rozwiązaniem równania, a literę niewiadomą.
Rozwiążmy poniższy przykład:
Przykład
\(2x + 3x + 8 = 10 - 7x\)
Na początek uprośćmy lewą stronę:
\(5x + 8 = 10 - 7x\)
Dodajmy do obu stron \(7x\)
\(5x + 8 + 7x = 10 - 7x + 7x\)
\(12x + 8 = 10\)
Odejmijmy od obu stron 8:
\(12x + 8 - 8 = 10 -8 \)
\(12x = 2\)
Podzielmy obie strony przez 12
\({12x \over 12} = {2 \over 12}\)
\(x = {1 \over 6}\)
Naszym wynikiem jest \(1 \over 6\)
Równania tożsamościowe
Rownania tożsamościowe to takie równania, które mają nieskończenie wiele rozwiązań. Innymi słowy podstawiając obojetnie jaką liczbę pod zmienną otrzymane równanie będzie zawsze prawdziwe.
Przykład
\(7 = 7\)
\(b^2 + 1 = 1 + b^2\)
Równania sprzeczne
Rownania sprzeczne to takie równania, które nie mają rozwiazania.
Przykład
\(7 = 0\)
\(x^2 = -9\)