Budowanie zdań
Każde wypowiedziane zdanie może mieć wartość logiczną. Zdanie może być prawdziwe lub fałszywe.
Prawdę oznaczamy cyfrą 1,
a fałsz cyfrą 0.
Koniunkcja
Koniunkcja to zdanie, które składa się z dwóch prostszych zdań, które połaczone są spójnikiem i. Koniunkcja jest prawdziwa tylko wtedy, gdy oba zdania (jej składniki) są również prawdziwe.
Spójnik i oznaczamy tym symbolem: \(\wedge\)
Poszczególne zdania możemy przedstawić za pomocą dwóch symboli \(p\) i \(q\)
Koniunkcja jest też nazywana iloczynem logicznym. Ma to związek z iloczynem zbiorów.
Przykład
Mając zdanie: Liczba \(\sqrt 3\) jest dodatnia i wymierna. Pod \(p\) i \(q\) możemy odpowiednio podstawić:
\(p=\) Liczba \(\sqrt 3\) jest dodatnia
\(q=\) Liczba \(\sqrt 3\) jest wymiernia
W naszym przypadku \(p\) jest prawdziwe, a \(q\) fałszywe, gdyż liczba\(\sqrt 3\) jest niewymierna(więcej o liczbach niewymiernych jest tutaj). Czyli:
\(p = 1\) i \(q = 0\)
Dlatego, że \(q\) jest zdaniem fałszywym, a koniunkcja jest prawdziwa tylko i wyłącznie jeśli \(p\) i \(q\) jest prawdziwe, a w przykładzie powyżej \(q\) jest fałszywe, więc całe zdanie jest również fałszywe.
Wszystkie możliwe kombinacje koniunkcji można przedstawić za pomocą poniższej tabeli:
| \(p\) | \(q\) | \(p \wedge q\) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
Alternatywa
Alternatywa to zdanie, które składa sie y dwóch prostych zdań, które połączone są spójnikiem lub. Alternatywa jest prawdziwa, jeśli którekolwiek ze zdań (którykolwiek ze składników) jest prawdziwe.
Spójnik lub oznaczamy symbolem: \(\lor\)
Tak samo jak w koniunkcji, poszczególne zdania możemy przedstawić za pomocą dóch symboli \(p\) i \(q\)
Alternatywa bywa nazywana sumą logiczną. Jest używana między innymi do dodawania zbiorów.
Przykład
Zmieniając poprzedni przykład: Liczba \(\sqrt 3\) jest dodatnia lub większa od 3. Pod \(p\) i \(q\) możemy odpowiednio podstawić:
\(p=\) Liczba \(\sqrt 3\) jest dodatnia
\(q=\) Liczba \(\sqrt 3\) jest większa od 3
W naszym przypadku \(\sqrt 3\) jest liczbą dodatnią i nie jest liczbą wiekszą od 3. Matematycznie możemy przedstawić to tak:
\(p = 1\) i \(q = 0\)
Alternatywa jest prawdziwa jeśli przynajmniej jeden składnik jest prawdziwy. Oznacza to, że nasze zdanie jest przwdziwe.
Wszystkie możliwe kombinacje alternatywy można przedstawić za pomocą poniższej tabeli:
| \(p\) | \(q\) | \(p \lor q\) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
Negacja
Negacja to zaprzeczenie zdania. Negację zdania otrzymujemy poprzez zaprzeczenie. Negacja zdania prawdziwego jest zdaniem fałszywym, a zdania fałszywego jest zdaniem prawdziwym.
Negację oznaczamy najczęściej symbolem: \(\neg\) lub \(\sim\).
Przykład
Załóżmy, że \(p\) to następujące zdanie: "Liczba 10 jest wymierna". Negacją tego zdania będzie: "Liczba 10 jest niewymierna".
Poniżej znajdują się wszystkie możliwe kombinacje negacji:
| \(p\) | \(\neg p\) |
|---|---|
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |
Warto zapamiętać, że podwójne zaprzeczenie zdania jest równoważne z formą bez negacji. Jego wartość logiczna jest taka sam:
\(p = \neg (\neg p)\)
Implikacja
Implikacja to połączenie ze sobą dwóch zdań logicznych \(p\) (poprzednik implikacji) i \(q\) (następnik implikacji) gdzie występuje zależność Jeżeli ... to ... .
Implikacja jest zdaniem fałszywym tylko wtedy, gdy jej poprzednik jest zdaniem prawdziwym, a jej następnik zdaniem fałszywym.
Oznaczamy ją symbolem \(\rightarrow\) lub \(\Rightarrow\).
\(x > 0 \Rightarrow x + 1 > 0\) czytamy tak: Jeżeli \(x\) jest większe od 0, to \(x\) powiększone o 1 jest większe od 0.
Wszystkie możliwe przypadki dla implikacji przedstawione są w tabeli poniżej:
| \(p\) | \(q\) | \(p \Rightarrow q\) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
Przykład
Jeżeli teraz świeci słońce to jest noc.
Załóżmy, że jest teraz godzina 13, to \(p = 1 \), a \(q = 0\). Wynik implikacji to fałsz.
Przykład
Jeżeli Berlin jest stolicą Francji to Moskwa jest stolicą Niemiec.
\(p=0\) a \(q = 0\) więc wynik implikacji to prawda
Równoważność
Równoważność (inaczej ekwiwalencja) to takie połączenie ze sobą zdań w których zachodzi zależność "wtedy i tylko wtedy, gdy". Równoważność jest prawdziwa jeśli oba połączone zdania są prawdziwe albo fałszywe.
Używany symbol do określenia równoważności to: \(\Leftrightarrow\) lub \(\leftrightarrow\)
| \(p\) | \(q\) | \(p \Leftrightarrow q\) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Przykład
Dzisiaj jest poniedziałek wtedy i tylko gdy wczoraj była niedziela.
Zakładając, że faktycznie dzisiaj jest poniedziałek to oba zdania są prawdziwe \(p=1\) jak i \(q = 1\), w jeśli nie to fałszywe. W obu przypadkach równoważność jest prawdziwa.
Powiązane tematy