Dowodzenie twierdzeń

Twierdzenia matematyczne często przedstawiane są za pomocą implikacji. Jak pamietasz z poprzedniego działu o budowaniu zdań, że implikacja składa się z poprzednika i następnika. Poprzednik implikacji nazywamy założeniem, a następnik tezą. Ucżąc się matematyki warto dokładnie zrozumieć zasadę działania udowadniania twierdzeń, gdyż jest to temat, który będzie obecny w wielu bardziej zaawansowanych zadaniach.

Dla przykładu:

Jeżeli pierwiastek z 2 poniesiony do kwadratu jest liczbą wymierną, to każdy pierwiastek podniesiony do kwadratu jest liczbą wymierną.

Założeniem w naszym przypadku jest:

pierwiastek z 2 podniesiony do kwadratu

a tezą:

każdy pierwiastek podniesiony do kwadratu jest liczbą wymierną

Generalnie każde twierdzenie, które nie jest przedstawione w postaci implikacji można do takiego stanu je przerobić. 

Na przykład twierdzenie: 

Iloczyn dowolnej liczby naturalnej z liczbą 2 jest liczbą parzystą

można przerobić na:

Jeśli pomnożymy liczbę naturalną z liczbą 2 to ich iloczyn będzie liczbą parzystą.

 

Dowodzenie twierdzeń, które jest w postaci implikacji polega na wykazaniu, że jest ona prawdziwa.

Istnieją dwie metody udowodnienia, że implikacja jest prawdziwa. Jeden z nich to dowód wprost, a drugi dowód nie wprost.

Twierdzenia można spotkać zapisane jako równoważność. W takim przypadku należy udowodnić dwie implikacje! Aby udowodnić poniższą równoważność: 

Iloczyn liczby naturalnej i liczby 2 jest liczbą parzystą \(\Leftrightarrow\) Liczba 2 jest liczbą parzystą.

należy udowodnić:

Iloczyn liczby naturalnej i liczby 2 jest liczbą parzystą \(\Rightarrow\) Liczba 2 jest liczbą parzystą.

oraz implikację odwrotną:

Liczba 2 jest liczbą parzystą \(\Rightarrow\) Iloczyn liczby naturalnej i liczby 2 jest liczbą parzystą

Dowód wprost

Metoda ta polega na założeniu, że prawdziwy jest poprzednik (założenie) i należy wykazać, że następnik (teza) jest też prawdziwa.

Pamiętaj, że zasadą tego dowodzenia jest założenie, że poprzednik jest prawdziwy, a nie szukanie przypadku gdzie jest on fałszywy. Nie trzeba rozpatrywać tego przypadku, gdyż implikacja o fałszywym poprzedniku jest zawsze prawdziwa.

Przykład:

Udowodnij, że kwadrat liczby parzystej jest podzielny przez 4

Układamy twierdzenie: Jeśli kwadrat dowolnej liczby parzystej jest podzielny przez 4 to dowolna liczba parzysta jest podzielna przez 2.

Dowód:

Liczbę parzystą zapisujemy jako \(2k\).

Kwadrat dowolnej liczby parzystej to \({(2k)}^2\)

\((2k)^2= 4k^2\)

Dzieląc wynik przez 4 otrzymujemy: \(4k^2 : 4 = k^2\)

Z założenia wynika, że dowolny kwadrat liczby parzystej jest podzielny przez 4. Ponieważ \(4k^2\) jest podzielne przez 4 udowodniliśmy, że każda liczba parzysta do kwadratu jest podzielna przez 4.

Dowód nie wprost

Metoda ta polega na założeniu, że następnik (teza) jest fałszywy i należy wykazać, że poprzednik (założenie) jest fałszywy.

Innymi słowy: Należy zaprzeczyć tezę dowodzonego twierdzenia i wykazaniu, że przyjęcie tego zaprzeczenia prowadzi do sprzeczności.

Pamiętaj, że w tym sposobie, nie rozpatrujemy przypadku gdy następnik jest prawdziwy, a zakładamy fałszywość następnika. Nie trzeba rozpatrywać tego przypadku, gdyż implikacja przy prawdziwym następniku jest zawsze prawdziwa. Niezależnie od tego jaki jest poprzednik.

Przykład:

\(\sqrt 2\) jest liczbą niewymierną

Dowód:

Przypuśćmy, że \(\sqrt 2\) jest liczbą wymierną. (zakładamy, że teza jest nieprawdziwa)

Czyli: \(\sqrt 2 = {p \over q}\)

\(2 = {p^2 \over q^2}\)

\(p^2 = 2q^2\)

Wynika z tego, że \(p\) musi być liczbą parzystą. Podstawmy \(2k\) pod \(p\)

\((2k)^2 = 2q^2\)

\(4k^2 = 2q^2\)

\(2k^2=q^2\)

Z tego wynika, że \(q\) jest również parzyste, a przecież przyjęcie tego założenia miało prowadzić do sprzeczności.