Wzory Viète’a

Jak już wiesz z poprzedniego działu, gdy równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania to do ich wyznaczenia możemy użyć poniższych wzorów:

\(x_{1}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta}}}{2a}}\) lub \(x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta}}}{2a}}\)

Jakby się tak zastanowić, to wzory te różnią się tzlko znakiem przy \(\sqrt\Delta\). Na podstawie odpowiednich działań możemy wyznaczyć inne związki między rozwiązaniami równania. Np wyznaczmy sumę rozwiązań:

\(x_{1} + x_{2} = {\frac {-b-{\sqrt {\Delta}}}{2a}}+{\frac {-b+{\sqrt {\Delta}}}{2a}}={{-2b}\over {2a}}={-{b\over a}}\)

Prawda, że było to proste? Spróbujmz obliczyć iloczyn rozwiązań równania kwadratowego:

\(x_{1} \cdot x_{2} = ({-b - \sqrt{\Delta} \over 2a}) \cdot ({-b + \sqrt{\Delta} \over 2a}) = {{b^2-\Delta}\over 4a^2}= {{b^2-(b^2-4ac)}\over 4a^2}= {4ac\over 4a^2}={c\over a}\)

Otrzymane wzory to tak zwane wzory Viète’a. Służą one do określenia właściwości równania kwadratowego.

Zapamiętaj, że jeżeli liczby \(x_{1}\)i \(x_{2}\)są rozwiązaniami równania kwadratowego \(ax^2+bx+c=0\) to zachodzą równości:

\(x_{1}+x_{2}=-{b\over a}\)i \(x_{1}\cdot x_{2}={c \over a}\)

Korzystając z powyższych wzorów możemy ustalić znaki rozwiązań równania. Jeżeli:

\({c\over a}< 0\) - to rozwiązania mają różne znaki

\({c\over a}> 0\) - to rozwiązania mają te same znaki

\({c\over a}> 0\) i \({-{b\over a}} > 0\) - to rozwiązania są dodatnie

\({c\over a}> 0\) i \({-{b\over a}} < 0\) - to rozwiązania są ujemne